“Cum sint duo circuli magni super sphmram, et non transit anus eorum per polum alterius, et signantur super circunferentiam unius eorum duo puncta, aut super circunferentiam uniuscuiusque ipsorum punetum, qualitercunque cadant, et producuntur ex unoquoque illorum duorum punctorum duo arcus ad circulum secundum, quorum unusquisque continuat cum arcu circuli ad quem ipse, producitur angulum rectum, tune proportio sinus arcus, qum est inter unum duo-rum punctorum, et inter unum duorum punctorum sectionis duorum circulorum ad sinum arcus, producti ex illo puncto ad circulum secundum, est sicut proportio sinus arcus, quae est inter punctum secundum et inter unum duorum punctorum sectionis ad sinum arcus producti ex illo puncto ad circulum secundum.

Sint ergo duo circuli ygdb, aezb, magni super sphwram, et signemus super circunferentiam circuli agdb, qui est unus eorum, in primis duo puncta gd, et faciamus transire super utraque ea, et super polum circuli ae, duos arcus duorum circulorum maiorum, qui sunt arcus eg et zd, continentes cum arcu circuli aez, duos angulas rectos.

Dico ergo, quod proportio sinus arous ag ad sinum arcus ge est sicut proportio sinus ad ad sinum dz. Quod sic probatur.

Producam enim ex duobus punctis gd, duas perpendiculares super superficiem circuli aeb, quce sint perpendiculares gk et dc, et protraham ex eis etiam duas perpendiculares super diametrum ab in superfície circuli agd, que sint perpendiculares gl et dm, et producam duas lineas kl et cm, propterea igitur quod duw perpendiculares gk et dc sunt Xquedistantes, et similiter dum perpendiculares gl et dm wquedistantes, erunt duo anguli lgk et mdc wquales, et unusquisque duorum angulorum k et c est rectus, sunt ergo trianguli lgk et dmc similes. Ergo proportio lateris gl ad latus gk est sicut praportio lateris dm ad latus dc, ac latus gl est sinus arcus ag, et latus gk est sinus arcus ge, et similiter latus dm est sinus arcus ad, et latus de est sinus arcus dz. Ergo proportio sinus arcus ag ad siri= arcus ge est sicut proportio sinus arcus ad ad sinum arcus dz. Completa est eius declarado. Et guia sinus arcus ag est sinus arcus gb, et similiter sinus arcus ad est sinus arcus db, oportet ut sit proportio sinus arcus bg ad sinum arcus ge, sicut proportio sinus arcus bd ad sinum arcus dz. Et ut sit etiam, proportio sinus arcus ag ad sinum arcus ge sicut proportio sinus arcus bd ad sinum arcus dz. Et sit punctum g signatum alicubi in circunferentia circuli agd, et signetur etiam alicubi in circunferentia     circuli aez punctum n, et protrahatur ad circulum agd ex eo arcus circuli magni continens cum eo angulum rectum, qui sit arcas np. Dico ergo quod proportio sinus arcus ag est ad sinum arcus ge, est sicut proportio sinus arcus an ad sinum arcus np, quod sic probatur.             

Faciam transire super poios duorum circulorum agd et aez, circulum magnum, qui sit yhq, ergo comprehendit cum duobus circulis agd et aez angulos rectos, et diuidit arcus separatos duorum circulo-rum in duo media. Erunt ergo propter hoc arcus aq, as et bq, et bs, et ah, et ay, et bh, et by octo, omnes azquales, quoniam unusquisque eorum est quarta circuli. Et propter hoc etiam quod circuli magni secant se super medietates suas, cuius declaratio hmc est, propinquw acceptionis, erunt arcus yh, et sq mquales, ergo proportio sinus cuiusque arcuum octo, ad sinum cuiusque duorum arcuum yh et sq, est sicut proportio una. Et propterea quod duo puncta nh sunt signata super circulum anh, et ex eis productw sunt du perpendiculares np et yh, erit ex eis, quod declarauimus, proportio sinus arcus an ad sinum arcus np sicut proportio sinus arcus ah ad sinum arcus hy. Et similiter erit iterum proportio sinus arcus ag ad sinum arcus ge, sicut proportio sinus arcus aq, ad sinum arcus qs. At uero proportio sinus arcus ah, ad sinum hy, est sicut proportio sinus aq ad sinum qs, ergo proportio sinus arcus ag ad sinum ge, est sicut proportio sinus an, ad sinum np, et illud uoluimus declarare.” (citada ed., pp. 10-11).

P. 100, 1. 28: No texto: “arcus”; emendado de harmonia com a 1.a edição e a concordância.

P. 101, 1. 20: No texto, assim como no da 1.a ed.: “a2quatorum”.

P. 102, 1. 5: penes] Como dá dissemos (hic, supra), as Esféricas de Menelau não haviam ainda sido impressas à data que Pedro Nunes escrevia o De crepusculis; conhecia-as, não obstante, indiretamente, pelas citações de alguns autores, designadamente Gebre, e, ao que pensamos, diretamente, por haver obtido cópia manuscrita. O emprego desta preposição penes parece sugerir que não foi sem dificuldade que a alcançou.

P. 104, 1. 3: Onde se lê.C.Z.H., leia-se G.Z.H.     

P. 104, 1. 13: Onde se lê.C.Z., leia-se.G.Z.           

P. 105, 1. 15: No texto: “inuestigandum”.           

P. 105, 11. 15-17: inuestiganclam quantitatem breuissimi crepusculi quod in dato horizonte esse potest] Esta secção da Proposição XVII constitui um dos grandes títulos do mérito do De crepusculis e do renome científico de Pedro Nunes, pois nela formulou e resolveu, pela primeira vez na história da astronomia, o problema do mínimo crepúsculo, como aspeto particular do estado geral deste fenómeno. Este facto acredita notavelmente o génio criador de Pedro Nunes, mormente se se atentar no que ocorreu aos famosos geómetras João e Jacob Bernouilli, os quais, como primeiramente fez notar entre nós Garção Stockler no seu Ensaio historico sobre a origem e progressos das mathematicas em Portugal (Paris, 1819), p. 31, “acharam [na resolução deste problema] tão grandes dificuldades ainda, quando já havia incomparavelmente maior número de meios para vencê-las, que o primeiro não duvidou confessar havê-la tentado, em vão por mui repetidas vezes no espaço de cinco annos, bem como a seu illustre Irmão havia similhantemente acontecido” ".

Delambre fornece alguns dados para a história ulterior deste problema nas pp. 414-418 da cit. Histoire de l'Astronomie du Moyen-Age.

P. 196, 1. 5: No texto: “credusculi”.

P. 107, 1. 1: No texto: “subtrahemns”.

P. 107, 1. 36: Onde se lê.mi.22., leia-se.mi.12.

48 A declaração de João Bernouilli consta do seguinte passo da sua carta publicada no Journal des Sçavans pour l'année M.CD.XCIII (Paris, 1729), p. 25, e reproduzida no t. I (Lausana e Genebra, 1742), p. 64, das suas Opera omnia tam antea sparsim edita, quam hactenus medita:

“Extrait d'une lettre de M. Bernouilli,

Medecin

J'ai resolu le Problême, de trouver geométriquement le jour du plus petit crépuscule; ce qui a occupé mon Frére, Professeur de Mathématique à Bâle, & moi depuis plus de cinq ans, sans en pouvoir venir à bout. Ce problême est d'autant plus curieux, que je demeure par ma metode de maximis & minimis, (qui est pourtant une des plus courtes) dans un calcul prolixe & embarassé, qui se laisse à la fin réduire à une petite équation quarrée, que je transforme en cette simple proportion géométrique. Comme te rayon, a la tangente de la moitié de Parc crépusculaire, qu'on suppose ordinairement de 18. degrez, ainsi te sinus de l'élevation du Pote, au sinus de la déclinaison méridionale cherchée du Soleil. Quand on a sa déclinaison, on a aussi le lieu dans PEcliptique; & partant le jour de Pannée auquel se fait le plus court crépuscule...”.

P. 109: Na reimpressão da Tabula arcuum crepusculorum..., que se encontra na 1.a edição, na coluna referente a Câncer, 1. 2.a, em vez de 23 [g] 31 [m], lê-se a graduação 23 [g] 32 [m].

P. 110, 1. 20: ipossibile] Corrija-se para “impossibile”.

P. 111: O desenho inserto nesta página não reproduz exatamente o que se vê na La e 2.a edições, pois foi feito de harmonia com as exigências do texto e com a expressa menção de emenda na errata da 1.a edição. Ver adiante, a nota à p. 115, 1. 5.