Bosmans, como já dissemos, observou que o cálculo algébrico deveria ter precedido a Primeira Parte, e que colocando-a neste lugar não procedeu com método. Acrescenta, porém: “N'exagérons pas cependant cette critique. Il faut tenir compte du peu d'avancement de la science. Ii faut tenir compte aussi de l'indépendance d'esprit de l'auteur et de sa tendance à s'écarter des vaies battues. Dans son algèbre, non seulement ii ne s'en tient pas à l'ordre traditionnel, mais contrairement aux habitudes de son temps, il distingue nettement l'algèbre de Varithmétique et suppose les opérations de celle-ci déjlà démontrées ailleurs. Aussi bien, s'il y a chez Nufiez défaut de méthode, il n'y a rien de plus. L'ordre adopté n'est pas le plus naturel; les démonstrations restant néanmoins toujours rigoureuses”. (Ob. cit., p. 8).

Segundo Martín Escobar, a primeira parte da Segunda Parte Principal, isto é, o cálculo algébrico, “ha sido inspirada en la obra de Cardano, habiendo muchas semejanzas entre los dos autores, aunque Cardano lo hace mezclando otras cuestiones, lo que motiva que no resalten con claridad, como sucede en Núfiez”. (Ob. cit., p. 278).

O conteúdo da segunda parte, que trata das raízes está no juízo do mesmo autor (eo.loc., p. 280) “inspirado todo él en Fray Lucas, habiendo seguido incluso el orden con que las materias se hallan expuestas en éste”.

P. 31, 1. 11: traer a menos roto]. Cremos que a expressão é de origem italiana, colhida porventura na Summa de Luca Pacioli.

P. 34, 1. 27: No texto: “prosupuesto”.

P. 36, 1. 7: A demonstração a que Pedro Nunes se refere encontra-se no De erratis Orontii in Obras, vol. III, cap. V (pp. 30 e segs.).

P. 37, 1. 37: No texto: “hiziero”.

P. 38, 1. 34: No texto: “quedara”.

P. 40, 11. 5-40 e p. 41, 11. 1-10: “Neste exemplo, trata-se de (12 x³+18 x²+27 x+17): (4x+3)

que tem por quociente,

J. Tropfke, na Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung, I (Berlim, 1902, p. 325) chamou a atenção para esta disposição do cálculo da divisão algébrica, que se afasta da que então se usava, pois como se notará, o divisar escreve-se à esquerda do dividendo e o quociente abaixo de toda a operação. Apud Bosmans, “Sur le Libro de Algebra” (cit., p. 159).

ANOTAÇÕES À PARTE SEGUNDA

DA SEGUNDA PARTE PRINCIPAL

(pp. 53-81)

P. 53, 1. 26: No texto: “numere”.

P. 54, 1. 25: No texto: “se dise”.

P. 54, 1. 25: Ver a anotação anterior, à p. 1, 1. 13 (raiz surda).

P. 54, 11. 26-27: Nestas linhas, Pedro Nunes exprime a sua opinião sobre a razão de se chamar raiz surda à raiz dos números que não têm raiz quadrada exata. A expressão colheu-a na Summa de Luca Pacioli, como notou M. Escobar (ob. cit., p. 280), o qual também notou que Pedro Nunes aprofundou o respetivo conceito em termos que não têm símile no matemático italiano.

Com efeito, Luca Pacioli, posteriormente à Summa, voltou a referir-se à raiz surda na Divina proportione, impressa pela primeira vez em Veneza em 1509, no seguinte passo do capítulo IX:

“E pero sonno e nascano de doi sorte R luna detta discreta o vogliam dire rationale e fia che per numero aponto se po asegnare como de 9 la R. fia 3. E laltra e detta sorda, e fia quella che per numero non se po aponto dare. Commo habiam detto dela R. de 10. e altri. E queste per altro nome son dette irrationali, impero che tutte quelle quantita che per numero aponto non se possano asegnare in larte sonno dette irrationali, e quelli che per numero se possano dare sonno dette rationali. E questo ai proposito nostro dele R. basti”.

É muito provável que Clávio tivesse aplicado esta opinião de Pedro Nunes, sem aliás a citar, no seguinte passo da sua Algebra (Mogáncia, 1612, p. 38): “Numeri irrationales, siue surdi, sunt radices numerorum, qum exprimi non possunt numeris, ac proinde negue audiri, ob quam causam radices surda sunt appellatm (...)”.

Leibniz empregou ainda esta expressão nos Novos ensaios sobre o entendimento humano (Livro II, cap. XVI, e Livro IV, cap. III).

P. 55, 11. 33-34: “Archytas, Tarentino (...) Apolonio, Pergeo”.

P. 57, 1. 24: No texto: “denominocion”.

P. 59, 1. 13: No texto: “raix”.

P. 60, 1. 11: No texto: “vauldra”.

P. 61, 1. 14: No texto: “raix”. P. 61, 1. 40: No texto: “sumallos”.

P. 66, 1. 35: No texto: “ligura”.

P. 66, 1. 39: No texto: “toda via”.

P. 67, 1. 8: No texto: “capasado”.

P. 67, 1. 10: No texto: “Daremos”.

P. 72, 1. 16: No texto: “mejor”.

P. 72, 1. 32: No texto: “cõstituy en”.

P. 73, 1. 21: No texto: “,”q do”. Emendado para “que de”.

P. 73, 1. 26: No texto: “le sámar”.

P. 74, 1. 6: No texto: “no da”.

P. 78, 11. 16-17: No texto: “senonio”.

ANOTAÇÕES A “TERCERA PARTE

DE LA SEGUNDA PARTE PRINCIPAL”

(pp. 81-149)

De pp. 81 a 86, Pedro Nunes ocupa-se das proporções, merecendo ser notadas pelos raciocínios, pela fundamentação histórico-científica e pela fortuna histórica.

1) Definição de proporção.

A definição que Pedro Nunes dá de proporção (p. 81, 11. 24-26) procede de Euclides, como ele aliás declara, e assenta no conceito de razão de duas quantidades homogéneas.

Explicitou a definição, precisando o conceito de homogeneidade, isto é, de razão entre quantidades da mesma natureza, ou por outras palavras, as condições necessárias da proporção.

São duas:

a) Que a menor das quantidades homogéneas sendo multiplicada possa exceder a maior. Esta condição é considerada como interpretação da def. 4, V, de Euclides, havendo-a Pedro Nunes colhido no comentário de Campano.

“En realidad”, observa Martín Escobar (ob. cit., p. 280), “esta proposición equivale a lo que atualmente llamamos postulado de Arguimedes. Núñes establece que si entre dos cantidades cualesquiera se verifica la anterior proposición, puede establecerse entre dias una proporción, lo que equivale a decir que scan de la misma naturaleza.

“Mas adelante [p. 83, 11. 37-40] aclara esto diciendo lo siguiente: Y Archimedes toma por principio que el exceso en que la mayor quantidad excede ia menor, tanto se puede multiplicar hasta que exceda cualquiera de ellas, con tanto que tengan entre si proporcion, y esto es ser de una misma naturaleza.

“Como se ve claramente por quanto aqui dice, Núfies identifica las dos proposiciones”.

b) Que a diferença das duas quantidades sendo multiplicada possa exceder a menor.

A fundamentação assenta também em Euclides.

Pedro Nunes não submeteu a noção de proporção ao desenvolvimento que desejaríamos. Dir-se-ia até que o seu objetivo neste capítulo fora indicar as condições necessárias para que duas quantidades possam ser consideradas da mesma natureza e em proporção, pois o assunto capital que nele trata é o problema do ângulo de contingência considerado à luz das duas condições referidas. Atentemos, pois, neste problema.

2) Sobre o ângulo de contingência.

Os raciocínios de Pedro Nunes sobre este ângulo têm lugar próprio na história da geometria.