A vivacidade da polémica entre Clávio e Peletier, se deu ao assunto maior interesse e expansão, tirou, de algum modo, nomeada ao nosso geómetra dado o fato de Clávio retomar e desenvolver a sua argumentação. As duas soluções antagónicas como que passaram a ser representadas por Peletier e Clávio, fazendo esquecer o nome dos que os haviam precedido. Assim, a par de Peletier eram agrupados os que não reconheciam a existência do ângulo, como Viète, que sustentara no capítulo XIII dos Variorum de rebus mathematicis responsorurn (1593) que duas tangentes “in eandem linearn rectam coincidentes” não formam ângulo, como Galileu, que em carta de Outubro de 1635 a Gio. Camillo Gloriosi lhe dizia que “il chiamato angolo di contatto è con errore detto cosi, nè è veramente angolo, nè ha grandeza comune”, e corno Wallis, que no De angulo contactus defendia a opinião de que a curva tem em cada ponto a direção da tangente.

A par de Clávio, pelo contrário, eram postos os que como Cardano, Candalle, Francisco Sanches66 e João Battista Beneditti", pensavam que o ângulo não era nulo.

Da polémica dão testemunho entre nós os seguintes escritos:

a) A tese IV das Theses Hercotectonicas Militares. Praeside Luis Serram Pimentel, Lente da Hercotectonica Militar, por Sua Magestade. Defende Diogo Tinoco da Sylva na Aula Regia da Mathematica a... todo o dia. Offerecidas ao Excellentissimo Senhor Marquez de Marialva... (Lisboa, 1662), p. 2 (não num.): “As partes da Fortaleza assim flãqueantes, como flanqueadas deuem ser capazes de resistir a Artilheria mais grossa, qual he a do genero de canhões. Tãto melhor será a fabrica da Praça quanto o flanco secundaria for maior sé incommodo de outras partes. O flanco ficarâ melhor disposto formãdo angulo recto com a cortina, que agudo, ou obtuzo. O Baluarte de angulo flanqueado agudo he mais forte q o de angulo recto, este q o de obtuzo. Nenhõ angulo faz muita, ou pouca resistencia; daqui nasce que se pode dar angulo agudo rectilineo igual ao de contingencia; e este igual ao recto rectilineo, não obstante a 16. propos. do 3. de Euclides, q seguimos, como todas por indubitaveis; & por tanto errou Peletario cõcedendo quantidade aos outros angulas, negandoa no de contingencia, errou Clavio contra Peletario, concedendo quantidade no angulo da contingencia, & em dizer que se podia passar do menor ao maior, & por todos os meios sé passar pelo igual, porque a proua que traz, de que se passa do angulo agudo rectilineo ao recto rectilineo, & por todos os meios sem passar pelo de semicirculo, he falsa.”

b) A questão III, “Se o angulo da contingencia he, ou não quantidade”, versada por Manuel de Azevedo Fortes, na Logica racional, geometrica e analítica (Lisboa, 1744), pp. 201-204.

O ilustre engenheiro-mor pronuncia-se pela negativa, em virtude do ângulo da contingência não ser divisível; cita a propósito a carta de Galileu a Gloriosi e remete quem queira conhecer o debate para a leitura de Clávio, Taquet e Peletário.

Sob o ponto de vista biográfico, o esclarecimento histórico deste problema mostra “claramente”, como escreveu T. Martín Escobar (ob. cit., pp. 281-282), “que Núñes tenia, aunque de un modo oscuro, ia noción de curvatura. Todas estas razones y argumentos se encuentram luego en otros autores posteriores, entre los cuales se encuentram Candalla y Clavio, su discípulo, y apoyánclose más tarde en ellas Newton resolvió finalmente el problema ai descubrir las derivadas e introducir la noción de dirección de una tangente”.

P. 87, 11. 13-15: Pedro Nunes exprime neste passo a ideia de que é possível obter a quadratura do círculo, não se havendo ainda alcançado “por defecto de sciencia humana”, que não por virtude de razão intrínseca. Era a ideia unânime, e que, como acentuou Orôncio Fineu na primeira página da Quadratura circuli tandem inventa et clarissime demonstrata... (Paris, 1544), cujos desvarios Pedro Nunes pôs a nu, procedia de Aristóteles, em vários lugares do Organon, da Física, e da própria Etica.

P. 88, 1. 41: No texto: “llamasse”.

P. 89, 11. 1-2: (Marsilio Ficino en el commento que hizo sobre el Thimeo de Platon). Pedro Nunes tem em vista os seguintes períodos do Compendium Marsilii Ficini in Timxum, cap. XXIX (“Propositiones et proportiones ad Musicam Pythagoricam et Platonicam pertinentes”):

“Verum antequam consonantias prosequar, admonendi sumus, quem Grei Logon nominant, nos rationem proportionemque nominare, et quam ilili Analogiam, nos rationis cõparationem siue similitudinem rationis et proportionalitate rursus, appellatione uere tam eleganti quam propria. Et proportionê quidem inter duos fieri terminos et quando rite fit, conducens uidelicet ad melodias, definiri mutuam duarum quantitatum inter se cõmensurabilium habitudinem, ut dupla inter unum atque duo, et sesquialtera inter duo atque tria, similesque deinceps.

Proportionalitatem uero definiri mutuam duarum proportionü camparationem. Ceu quando dicimus, quem admodum se habent duo ad quatuor, ita quatuor se habent ad ato, per rationem uidelicet utrobique duplam. Que quidem comparado, guia inter tres fit terminas, continua nominatur. Discreta uero est, quoties inter plures efficitur, ceu quando ita conferimus: sicut duo ad quatuor, ita ato ad sexdecim sese habent. Item cõparationem eiusmodi esse triplicem, scilicet arithmeticam, geometricam et harmonicã. Arithmeticã in numeri paritate consistere. Sic inter tria et septem medius est quinarius, numero eodem, scilicet binario alterum terminum superans, ah altero superatus, per proporticmem utrinque bipartientem. Geometricam uero in rationis wqualitate sitam esse, in qua sunt multiplex atque superparticularis: quando uidelicet ita comparamus, sicut se habent tria ad nouem, ita nouem ad septem atque uiginti, nam utrobique tripla. Item quod est nouenarius iuxta senarium, idem est senarius iuxta quaternarium. Nam et hic, et ibi est proportio sesquialtera. Denique praportionem harmonicam in quadam similitudine collocant, per quam tribus terminis in ordinem positis, sicut maximus terminus aspicit minimum, similiter differentia inter terminas maior minorem respicit differentiam. Si enim ponas tria, quatuor, sex, differentia inter sex et quatuor est binarius: differenda inter quatuor et tria, unitas sicut autem inter sex et tria dupla ratio, est, ita inter duo et unum est ratio dupla. Viget hic altera quaque similitudo, scilicet portionum: Simili namque extremorum portione medius terminus excedit atque exceditur. Quaternarius enim superatur a senario per tertiam senarii partem: superat quoque ternarium tertia ternarii parte. In hac utique artificium uersatur harmonicum, quod proportiones quidé superpartientes quasi disgregatas dissonasque deuitat, multiplices autem et superpartioulares admittit, componens duplas ex sesquiahera atque sesquitertia, per harmonicam qualem diximus rationem concordi uarietate,gaudentem. Amat uero quemadmodum dicebamus comparationes multiplices, necnon superparticulares, ea insuper ratione, quod in his tanta est ad idem restituendum pracliuitas, ut quando plures rationis eiusdem inuicem componuntur, medium in se ductum tantundem multiplicet quantum extrema si inuicem perducantur. Pone duo, quatuor, ato: sicut autem bis octo, sic et quater quatuor, sexdecim procreant. Item pane, quatuor, sex, nouem: sicut erga quater nouem, sic etiam sexies sex multiplicant sex atque triginta. Similiter si duo inter extrema media interieceris, puta inter duo atque sexdecim posueris quatuor atque octo. Omnes enim hi deinceps numeri dupla proximum ratione eõspiciunt. Si ergo duo in sexdecim ducas, tantundë reportabis, ac si quatuor in ato perduxeris. Idem contingit in cmteris tam superparticularibus quam multiplicibus. In superpartientibus autem non fit idem. Dispone tria, quinque, septem. Sicut a septenario ad quinarium est habitudo superbipartiens, sic a quinaria ad ternarium. Vtrobique enim dum quaDdam partes toti insuper apponuntur. Si ducas ternarium in septenarium, non eundem numerum procreabis, ac si quinarium in seipsum. Primo itaque gradu sunt multiplices: quofiam prwter id quod modo dicebamus, per eas numeri amues respiciunt etiam unitatem, dum aspiciunt numeras. Secundo gradu super-particulares: quia et si unitatem ipsam non spectant, semper tamen unam quandam spectant partem ad integrum unum accommodatam. Tertio superpartientes: guia horum neutrum uidentur aspicere. Quamobrem hanc odit habitudinem facultas harmonica, tanquam concordim reluctantem. Optat enim, uel ex ipsa wqualitatis proportione uniuocum unisonumque conficere: uel ex rationali, id est multiplici et superparticulari inaequalitatis proportione, wquiuocum wquisonumque conflare. Talem uero wquisonum confiat ex dupla, qualis unisono sit quam proximus: qui in dupla et minor terminus maiorem metitur, metiendoque adwquat: et maior ubi minorem superat, non alio numero quam ipsomet minore, ut ita dixerim, exuperare uidetur.”